Abstract (Objective) This article presents the results of research on the teaching and learning of the criterion ''implement a representative sample of the complexity of the mathematical object to be taught,''which was carried out with high school mathematics teachers from Ecuador in a master's degree program in continuing education. (Methodology) After a discussion of the instructional process which was used when teaching this criterion, a qualitative analysis of the responses to one of the tasks proposed for the students in this master's degree program is presented: creating tasks for whose resolution the students had to apply a certain partial meaning of the Pythagorean theorem (geometric or arithmetic-algebraic), as a demonstration of the learning that they had achieved. (Results) The results show that some students in the master's degree program proposed tasks to work on the Pythagorean theorem, but did not specify or justify whether the tasks they designed were related to arithmetic-algebraic meaning, to geometric meaning or to both; other students did not propose any task to work on arithmetic-algebraic meaning; and one participant in the master's program did not propose any task to work on geometric meaning. It was also observed that some students created tasks that did not correspond to either of these meanings. (Conclusions) It was concluded that teachers have difficulties in creating a task and indicating the type of meaning of the Pythagorean theorem that should be used to solve it, and that geometric meaning was most related to the tasks that they proposed.

Resumen (Objetivo) El objetivo de este artículo es presentar resultados de una investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje del criterio ''implementar una muestra representativa de la complejidad del objeto matemático que se quiere enseñar”, implementado con profesorado de secundaria de matemáticas de Ecuador enun máster de formación continua. (Metodología) Después de explicar el proceso de instrucción en elque se enseñó este criterio, se presenta el análisis cualitativo de las respuestas a una de las tareas quese propuso al alumnado de este máster: crear tareas en las que, para su resolución, se tenía que aplicarun determinado significado parcial del teorema de Pitágoras (el geométrico o el aritmético-algebraico),como ejemplo de evidencia del aprendizaje conseguido. (Resultados) Los resultados muestran que algunos alumnos del máster proponen tareas para trabajar el teorema de Pitágoras, pero no especifican ni justifican si las tareas diseñadas por ellos están relacionadas con el significado aritmético-algebraico, con el geométrico o con ambos; otros no propusieron ninguna tarea para trabajar el significado aritméticoalgebraico y un participante del máster no propuso ninguna tarea para trabajar el significado geométrico. También se observa que algunos crearon tareas que no se corresponden con el significado que señalan. (Conclusiones) Se concluye que los profesores tienen dificultades para crear una tarea y señalar el tipo del significado del teorema de Pitágoras que se debe usar para resolverla y que el significado geométrico es el que mejor relacionan con la tarea que proponen.

Resumo (Objetivo) O objetivo deste artigo é apresentar os resultados de uma pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem do critério ''implementar uma amostra representativa da complexidade do objeto matemático a ser ensinado”, executado com professores de matemática do Ensino Médio do Equador em um mestrado de educação continuada. (Metodologia) Depois de explicar o processo instrucional no qual este critério foi ensinado, apresentou-se a análise qualitativa das respostas a uma das tarefas propostas aos alunos deste mestrado: criar tarefas nas quais, para sua resolução, eles tinham que aplicar um determinado significado parcial do teorema de Pitágoras (geométrico ou aritmético e algébrico), como um exemplo de evidência da aprendizagem alcançada. (Resultados) Os resultados mostram que alguns alunos de mestrado propuseram tarefas para trabalhar o teorema de Pitágoras, mas não especificaram ou justificaram se as tarefas projetadas por eles estão relacionadas ao significado aritmético e algébrico, ao significado geométrico ou a ambos; outros não propuseram nenhuma tarefa para trabalhar o significado aritmético e algébrico e um participante do mestrado não propôs nenhuma tarefa para trabalhar o significado geométrico. Observa-se, também, que alguns deles criaram tarefas que não correspondem ao significado que indicam. (Conclusões) Conclui-se que os professores têm dificuldade em criar uma tarefa e apontar o tipo de significado do teorema de Pitágoras que deve ser usado para resolvê-la e que o significado geométrico é aquele que eles relacionam melhor com a tarefa que propõem.

Abstract In this work, we expose and explain the elements of a theoretical construct called the interpretive field (IF), which is generated from a mathematical object called the IF core. To exemplify and demonstrate the construction process of an IF, we chose the Pythagorean Theorem (PT) as the core, given its relevance within mathematics and as a learning object in didactics. An IF is made up of conceptual networks that structure the mathematical objects immersed in the core, which are made explicit through hermeneutic tools, particularly analogy. During the construction process of the IF associated with the Pythagorean Theorem (IF-PT), the relevance of the tension between opposites (for example, particularization-generalization) is highlighted as a generator of relationships that articulate meanings and interpretations between mathematical objects. The purpose of generating an IF is to obtain a global vision of the relationships and articulations that emerge from the nucleus, in which the equivocal interpretations in different contexts are highlighted and made transparent. These relationships are useful to identify and design didactic trajectories, which are evidence of mathematical understanding, which can be achieved through a process of oriented reconstruction of knowledge. As a result of the work, we present a graphic representation of the partial network of constituent relationships of the IF-PT. This network is partial and incomplete, because the IC is a dynamic construct in permanent construction, whose structure is dialectically related to the knowledge of each person and to scientific advances at a certain historical moment. The previous ideas exemplify the inherent complexity of the mathematical objects that are placed in the didactic scenario, and which consideration is fundamental for the development of understanding.

Resumen En este trabajo exponemos y explicamos aquellos elementos que conforman un constructo teórico denominado campo interpretativo (CI), el cual se genera a partir de un objeto matemático llamado núcleo del CI. Para ejemplificar y evidenciar el proceso constructivo de un CI, elegimos al teorema de Pitágoras (TP) como núcleo, dada su relevancia dentro de la matemática y como objeto de aprendizaje en la didáctica. Un CI está integrado por redes conceptuales que estructuran los objetos matemáticos inmersos en el núcleo, las cuales se explicitan mediante herramientas hermenéuticas, particularmente la analogía. Durante el proceso constructivo del CI asociado al Teorema de Pitágoras (CI-TP) se destaca la relevancia de la tensión entre opuestos (por ejemplo, particularización-generalización) como generadora de relaciones que articulan significados e interpretaciones entre objetos matemáticos. La finalidad de generar un CI, es obtener una visión global de las relaciones y articulaciones que se desprenden del núcleo, en la que se destaca y transparenta la equivocidad de las interpretaciones en diferentes contextos. Estas relaciones son de utilidad para identificar y diseñar trayectorias didácticas, las cuales son evidencia de un entendimiento matemático, que se puede lograr a través de un proceso de reconstrucción orientada del conocimiento. Como resultado del trabajo, presentamos una representación gráfica de la red parcial de relaciones constituyentes del CI-TP. Dicha red es parcial e incompleta, porque el CI es un constructo dinámico en permanente construcción, cuya estructura se relaciona dialécticamente con los conocimientos de cada persona y de los avances científicos en un cierto momento histórico. Todo lo anterior es muestra de la complejidad inherente a los objetos matemáticos que son puestos en el escenario didáctico, y cuya consideración es fundamental para el desarrollo del entendimiento.

Resumen El propósito de esta investigación fue identificar y conectar medidas y patrones en tipos de siembra de palma de coco, construidos por un campesino mexicano. El estudio se fundamentó en la Etnomatemática y se desarrolló bajo una metodología de tipo cualitativa-etnográfica en tres etapas: una observación participante para lograr la familiarización con el campesino, entrevistas semiestructuradas para recolectar la información, y un análisis temático etnomatemático de los datos. Los resultados muestran que el campesino construye dos sistemas de siembra: marco real y tres bolillos, usando medidas no convencionales como el paso y el cordel, y, como unidad de medida convencional, el metro. Además, aplicó razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo, usado en la siembra tres bolillos e implementarlo como patrón de medida. Los hallazgos tienen potencial matemático para la enseñanza y aprendizaje de tópicos matemáticos, conectados al contexto sociocultural de los estudiantes y profesores.

Abstract Research’s goal is to identify and connect measurements and patterns in coconut palm planting types constructed by a Mexican farmer. The study was theoretically based on Ethnomathematics and was developed under a qualitative-ethnographic methodology in three stages: first, a participant observation was carried out to achieve familiarization with the peasant. Second, to collect the data, semi-structured interviews were implemented, and third, an ethnomathematical thematic analysis of the data was followed. The results show that the farmer builds two sowing systems (real frame and three bobbins) using non-conventional measures such as step and string, and, as a conventional unit of measurement, the meter. In addition, he applied trigonometric ratios and the Pythagorean theorem to find the height of the triangle, used in the triangular planting system, and implement it as a measurement standard. This work has mathematical potential for the teaching and learning of mathematical topics connected to the sociocultural context of students and teachers.

Resumen El artículo presenta un estudio de casos sobre los significados que un grupo de profesores de matemáticas en formación inicial otorga al teorema de Pitágoras. Para esto, se enfatizó el análisis de uno de los organizadores del currículo: los modos de uso de un concepto matemático. Los participantes fueron 20 estudiantes de Enseñanza de la Matemática, provenientes de las 4 universidades públicas de Costa Rica donde se oferta esta carrera. La información se recolectó mediante el diseño y la aplicación de un cuestionario compuesto por 7 ítems tanto para el planteo como para la resolución de tareas sobre los usos del teorema de Pitágoras. Se destacan las respuestas dadas a 2 de esos ítems, vinculados a la fenomenología de un concepto matemático. Se utilizó uno de los componentes del análisis didáctico, el análisis de contenido, como técnica para examinar y caracterizar las situaciones junto con los contextos que ese grupo de estudiantes propone en el planteamiento y la resolución de tareas matemáticas enlazadas a la funcionalidad del teorema. Los resultados muestran que dicho teorema se concibe con el propósito de resolver tareas en situaciones matemáticas, basadas en el cálculo de longitudes; aunado a esto, se reconocen a) ciertas dificultades en los participantes para plantear asignaciones basadas en circunstancias distintas a un entorno matemático y b) que la calidad de las tareas propuesta es diversa.

Resumo O artigo apresenta um estudo de casos sobre os significados que um grupo de professores de matemática na formação inicial outorga ao teorema de Pitágoras. Para isso, enfatizou-se a análise de um dos organizadores do currículo: os modos de usar um conceito matemático. Os participantes foram 20 estudantes de Ensino de Matemática, procedentes de 4 universidades públicas da Costa Rica, onde a carreira é oferecida. As informações foram coletadas por meio do desenho e aplicação de um questionário composto por 7 itens, tanto para a proposta quanto para a resolução de tarefas sobre os usos do teorema de Pitágoras. Destacamos as respostas dadas a 2 desses itens, ligados à fenomenologia de um conceito matemático. Utilizou-se um dos componentes da análise didática: a análise de conteúdo, como técnica para examinar e caracterizar as situações juntamente com os contextos que esse grupo de alunos propõe na abordagem e resolução de tarefas matemáticas vinculadas à funcionalidade do teorema. Os resultados mostram que este teorema é concebido com o propósito de resolver tarefas em situações matemáticas, baseado no cálculo de comprimentos; atado a isso, é reconhecido que a) há certas dificuldades nos participantes para propor tarefas baseadas em circunstâncias diferentes de um ambiente matemático e b) a qualidade das tarefas propostas é diversa.

Abstract This article presents a case study on the meanings that beginning students of mathematics teaching assign to the Pythagorean theorem. In this study, emphasis was placed on one of the most important elements used for structuring a curriculum: the ways in which students of mathematics teaching make use of a mathematical concept. Twenty (20) students of Mathematics Teaching from the four public universities of Costa Rica that offer this career participated in the study. A questionnaire was designed and applied for collecting information, which consisted of 7 items which presented and solved tasks based on the use of the Pythagorean theorem. Answers to two of these items stand out, which are associated with the phenomenology of a mathematical concept. Content analysis, one of the components of didactic analysis, was used to examine and characterize teaching situations, together with the contexts proposed by this group of students for the statement and solution of mathematics tasks associated with the theorem. The results show that this theorem was mainly seen as a tool for solving mathematical tasks related to the calculation of lengths. Additionally, participants experienced some difficulties in proposing tasks based on non-mathematical situations, and the quality of the tasks proposed varies.

RESUMEN La incursión de la investigación cualitativa en el aula de clase, mediante la investigación-acción, ha planteado la necesidad de desarrollar la competencia razonamiento matemático desde el aprendizaje del teorema de Pitágoras enmarcado en el modelo de Van Hiele con los estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa Anna Vitiello-Hogar Santa Rosa de Lima (en adelante: AV-HSRL). Para tal efecto, se diseñó una prueba diagnóstica, siete sesiones de clase y una prueba final, aplicando los estándares de competencias establecidos por el Ministerio de Educación Nacional, e implementando estrategias pedagógicas con base en los niveles de razonamiento geométrico del modelo de Van Hiele. Los resultados sugieren la necesidad de implementar la formación de competencias matemáticas mediante actividades colaborativas, en las cuales el estudiante se motive e involucre en el desarrollo de su razonamiento geométrico.

ABSTRACT The presence of qualitative research in the classroom, through action research, created the need to help the ninth-grade students of the Institución Educativa Anna Vitiello "Hogar Santa Rosa de Lima", (from now on: AV-HSRL), to develop their mathematical reasoning competence through the learning of the Pythagorean theorem based on the Van Hiele Model. For this purpose, a diagnostic test, seven class sessions and a final test were designed, all of them meeting the standards established by the Ministry of National Education and implementing some pedagogical strategies based on the 5 levels of geometric thinking developed in the Van Hiele Model. The results of this test suggest the need to teach mathematical skills through collaborative activities that can involve and encourage students to developing their geometric reasoning.

Abstract: In our article, we will analyze the differences and similarities that we can find in the use of diagrams between two mathematical practices of antiquity. We will show that there is no single possible use of these, but that they have to be considered as reasoning tools created and manipulated according to the purposes of each tradition. We will argue that the differences in the procedures and organizations of knowledge that both traditions present do not imply any kind of assessment of their greater or lesser “mathematicity”, since both traditions reached sufficiently general and precise mathematical results, a fact that is characteristic of mathematical research at a theoretical level.

Resumen: En nuestro artículo, analizaremos las diferencias y similitudes que podemos encontrar en el uso de diagramas entre dos prácticas matemáticas de la antigüe- dad. Mostraremos que no existe un solo uso posible de éstos, sino que tienen que considerarse como herramientas de razonamiento creadas y manipuladas de acuerdo con los propósitos de cada tradición. Argumentaremos que las diferencias en los procedimientos y organizaciones del conocimiento que ambas tradiciones presentan no implican ningún tipo de valoración acerca de su mayor o menor “matematicidad”, ya que ambas tradiciones llegaron a resultados matemáticos suficientemente generales y precisos, hecho que es característico de investigaciones matemáticas a un nivel teórico.

Resumo O estudo apresentado neste artigo está ligado a uma investigação qualitativa, levada a efeito junto a um grupo de estudantes do Ensino Fundamental, cuja principal finalidade consistia em estudar os processos de construção do conhecimento em geometria euclidiana plana e do teorema de Pitágoras, em particular, tendo por base a proposição de atividades problematizadas em uma estratégia didática que previa o trabalho com construções geométricas e o emprego de uma versão do software Logo, de modo a observar como este processo se estabelece de forma significativa, e a maneira pela qual a fluência em tecnologias digitais influencia na construção de conjecturas pelos sujeitos. Os pressupostos advindos da Teoria das Situações Didáticas foram adotados para a análise, em conjunto com a Teoria da Aprendizagem Significativa, e influenciaram também a construção de sequências didáticas, compostas por problemas, cujas propostas de resolução foram apresentadas pelos estudantes. Neste sentido, foi possível observar, à guisa de resultados da investigação, durante as trajetórias de resolução eleitas pelos sujeitos, diversas características da aprendizagem, entre acertos e equívocos, evidenciadas pelo uso do software e por propostas escritas nos protocolos produzidos, que permitiram, a partir desta convergência, indicar os principais avanços observados com o uso da estratégia adotada.

Abstract The study presented in this article is linked to a qualitative research carried out with a group of primary school students, whose main purpose was to study the processes of knowledge construction in Euclidean plane geometry, considering, as main subject, the Pythagorean theorem. The research is based on the proposition of problematized activities in a didactic strategy that predicted the work with geometric constructions and the use of a version of the Logo software, in order to observe how and in what form this process is established in a significant way, and the way in which the fluency in digital technologies influences the construction of conjectures by the subjects. The assumptions derived from the Theory of Didactic Situations were adopted for the analysis, together with the Theory of Significant Learning, and influenced the construction of didactic sequences, composed of problems, which proposals of resolution were presented by the students. In this sense, it was possible to observe, as results obtained by investigation process, during the resolution trajectories chosen by the subjects, several characteristics of the subjects’ learning, including correct and wrong answers, evidenced by both the use of the software and written proposals in the protocols produced, which allowed, from this convergence, to indicate the main advances observed with the use of the strategy adopted.

Abstract In this paper, we report the results of an exploratory research in which the interest was to identify how beliefs that support teachers in service about the Pythagorean Theorem are indicators of a didactical reductionism on this mathematical result. Questionnaires were applied to five public high school mathematics teachers and a semi-structured interview with a teacher who imparts courses of physics and mathematics in an engineering course at a public university. The collected data were analyzed based on six beliefs categories. One relevant result of the work is that teachers conceive the Pythagorean Theorem as an isolated fact and not as an integrated approach to a highly structured network of ideas, covering a wide variety of mathematics knowledge branches. However, it seems suitable that teachers think about their own beliefs and implications that those beliefs have in the teaching activity.

Resumen En este artículo reportamos los resultados de una investigación exploratoria, cuyo interés fue identificar cómo las creencias que sostienen profesores en servicio sobre el Teorema de Pitágoras, son indicadores de un reduccionismo didáctico relativo a este resultado matemático. Se aplicaron cuestionarios a cinco profesores de matemáticas que laboran en un bachillerato público y una entrevista semi-estructurada a un profesor quien imparte cursos de física y matemáticas en una carrera de ingeniería en una universidad pública. Los datos recolectados se analizaron con base en seis categorías de creencias. Un resultado relevante del trabajo es que los profesores conciben al Teorema de Pitágoras como un hecho aislado y no como un conocimiento integrado a una red altamente estructurada de ideas que abarcan una amplia variedad de ramas de la matemática. Por tanto, resulta conveniente que los profesores reflexionen acerca de sus propias creencias y las implicaciones que tienen sobre su actividad docente.

<p>Este artigo se propõe a expor conceitos de geometria riemanniana e aplicá-los a uma esfera em duas dimensões, a esfera <italic>S</italic>₂, que é a variedade riemanniana mais simples de construir. Assim, esse artigo visa dar subsídios suficientes aos estudantes de graduação em Física para que eles compreendam tais conceitos de geometria com o propósito de facilitar o estudo da teoria da relatividade geral. Da mesma forma, este artigo atende às necessidades de professores do Ensino Médio que queiram transpor didaticamente a geometria riemanniana a fim de ensinar os avanços obtidos no campo aos estudantes do Ensino Básico. Nesse sentido, introduzimos conceitos básicos como curvatura e construímos a variedade <italic>S</italic>₂, mostrando que a sua curvatura não é zero. Isso ilustra o arcabouço teórico da relatividade geral pois mostra como conceitos familiares da geometria euclidiana são alterados. Como exemplo mostramos como o teorema de Pitágoras é construído na variedade <italic>S</italic>₂.</p>

<p>This article presents concepts of Riemannian geometry and apply them to a two-dimensional sphere, the sphere <italic>S</italic>₂, which is the simplest Riemannian manifold. Thus this article is intended to give enough subsidies to undergraduate students of physics to understand such concepts of geometry in order to facilitate the study of the general relativity. Similarly, this article is suitable to high school teachers who want to use basics concepts of Riemannian geometry to talk about the progress made in the field. In this sense, we introduce the curvature and define the manifold <italic>S</italic>₂, showing that its curvature is not zero. This illustrates the theoretical framework of general relativity and it shows how the familiar concepts in Euclidian geometry change when the geometry is expanded. As an example we show how the Pythagorean theorem is built on this manifold.</p>

This paper reports the analysis of the didactical management of two mathematics teachers in Chile, from direct observation of their geometry classes about the Pythagorean Theorem, in grade 7 and students 12 to 13 years old. The aim of the study is to detect in classroom management, indicators of teachers´didactical decisions about the topic and see if their efforts follow a didactic model of pedagogical action. This study focuses on the analysis of selected episodes of the lessons, which is part of a constructivist approach to learning and teaching of mathematics, based on key ideas of the theory of didactic situations of Brousseau. The management of both teachers leads to a transmission model of knowledge that hampers the development of mathematics and student protagonism.

Este artículo presenta el análisis de la gestión didáctica de dos profesoras de matemáticas en Chile, a partir de la observación directa de sus clases de geometría del teorema de Pitágoras, en el grado 7 y alumnos de 12 a 13 años. El objetivo del estudio consiste en detectar, en la gestión de la clase, los índices de las decisiones didácticas que toman las docentes sobre el tema, y verificar si sus gestiones siguen algún modelo didáctico de la acción pedagógica. Este estudio se centra en el análisis de episodios seleccionados de las clases, el cual se inscribe en una perspectiva constructivista del aprendizaje y de la enseñanza de la matemática, basado en ideas claves de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau. La gestión de los profesores conduce a un modelo de transmisión de conocimientos que dificultan el desarrollo de las matemáticas y el protagonismo del estudiante.

This article demonstrates that it is possible to extend the Pythagorean Theorem to "N" dimensions. This demonstration is mainly done based on linear algebra, especially in the vector product of "N" dimensions.

Este artículo demuestra que es posible extender el teorema de Pitágoras a "N" dimensiones. Esta demostración se basa principalmente en el álgebra lineal, sobre todo en el producto vectorial en "N" dimensiones.

Este trabalho analisa como um grupo de alunos da licenciatura em Matemática e de professores em ação continuada enuncia e representa o Teorema de Pitágoras. A pesquisa tem conotação qualitativa e foi realizada num evento de Educação Matemática, durante a realização de uma oficina sobre os níveis de van Hiele, no segundo semestre do ano de 2010. Aspectos de visualização e representação foram observados, e constatamos que a maioria absoluta dos sujeitos investigados não expressa corretamente o teorema numa linguagem matemática apropriada, estabelecendo conflitos cognitivos entre aspectos de medida e de formas. Além disso, as representações do teorema, feitas pelos sujeitos, se limitam, quando o fazem, a uma única situação, e não dão sinais de identificarem uma generalização do teorema, além do aspecto geométrico de construir quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo.

This work analyses how a group of graduate students of Mathematics and practicing teachers represent Pythagoras's Theorem. The research has a qualitative approach and was held at an event of Mathematics Education, during a workshop on the van Hiele levels in the second half of 2010. Aspects of visualization and representation were observed and we found that the majority of investigated subjects don't use an appropriate language for the mathematical theorem, establishing conflict between cognitive aspects and forms of measurement. Furthermore, representations of the theorem, given by the subjects are limited, when they give them, to a single location and they don't give signs to identify a generalization of Theorem beyond the geometric aspect of constructing squares on the sides of a triangle.